圖2-1  質量守恒的微元體

將質量守恒定律應用到高溫流體流動中（如圖2-1）所示，即得連續性方程：

在(zai)不穩(wen)定(ding)流(liu)動(dong)時(shi)，流(liu)入(ru)的(de)流(liu)體質(zhi)量與流(liu)出(chu)的(de)流(liu)體質(zhi)量之差應等于(yu)封閉空間中流(liu)體質(zhi)量的(de)變化；而在(zai)穩(wen)定(ding)流(liu)動(dong)時(shi)則(ze)流(liu)入(ru)流(liu)體質(zhi)量必(bi)然(ran)等于(yu)流(liu)出(chu)的(de)流(liu)體質(zhi)量，其數學表達式即為連續性方程(cheng)。在(zai)直角坐標系中

不穩定流動時

（2-1）

穩定流(liu)動(dong)時(shi)，則

對于不可壓縮流體，ρ=const，則連續性方程為

用ρu的散度divpu或 pu表示上式左邊的三項之和則，

div u=▽·u=0

在柱坐標系(xi)中

不(bu)穩(wen)定(ding)流動(dong)時

（2-2）

穩定流(liu)動時

（2-2a）

對于不可壓縮流體，ρ=const，則連續性方程為

（2-2b）

直角坐標(biao)和柱(zhu)坐標(biao)之間的換算(suan)公(gong)式(shi)如(ru)下(xia)：

（2-3）

連續(xu)性方程表示了流體(ti)運動時，其速度(du)與密度(du)之間的關系。

二、能量方程

根據能量守恒定律、加到流體中的熱能q和壓力所作的功之和，等于流體對外所作的機械功W、克服摩擦所消耗的功Wf以及動(dong)能(neng)，位能（gZ2-gZ1）和內能增量cu（T2-T1）之和。能量方程的數學表達式則為

（2-4）

其微分形(xing)式(shi)為

（2-4a）

式中，而

兩者之和為（i2-i1）

三、粘性(xing)流(liu)體運動方程(cheng)

根據牛頓第二定律，考慮到流體的粘性剪切力即可得不可壓縮粘性流體運動微分方程式，該式又稱為納維—斯托克斯方程，簡稱N-S方程，這是流體動力學基本方程之一，在直角坐標系中表示為（見圖2-2）。

（2-5）

方程組中左(zuo)(zuo)邊(bian)*項(xiang)為單位質量力；左(zuo)(zuo)邊(bian)第二(er)項(xiang)為壓力，第三項(xiang)為摩擦力，合稱為表面(mian)力；右邊(bian)為慣性力。

在(zai)柱坐標系中則表示為

（2-）

圖2-2  粘性流體運動分析

式中一直角坐標拉普拉斯(si)算(suan)子

一柱坐標用拉普拉斯(si)算(suan)子；

一歐拉(la)系數(shu)。

對于可壓縮流體，考慮氣體的可壓縮性、N-S方程具有下列形式：對于直角坐標為

（2-6）

對于柱坐標(biao)系則表示為：

（2-6a）

N-S方程是粘性流體zui一般性的方程。加上連續性方程共有四個方程式，當邊界條件和初始條件確定后，原則上可求解不可壓縮粘性流體運動問題中的四個未知數ux、uy、uz和p。許多層流問題，如園管層流、平行平面間層流、同心園環間層流都可以用N-S方程求出解，而且流體潤滑問題也可用N-S方程求近似解。